Question

如圖(1)所示，在正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AB=3，AA₁=4，M為AA₁的中點，P是BC上一點，且由P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱CC₁到M的最短路線長為，設(shè)這條最短路線與CC₁的交點為N.求：

            (1)

(1)該三棱柱的側(cè)面展開圖的對角線長；

(2)PC和NC的長；

(3)平面NMP與平面ABC所成二面角(銳角)的大小(用反三角函數(shù)表示).

Answer 1

解析:(1)正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的側(cè)面展開圖是一個長為9，寬為4的矩形，其對角線長為.

(2)如圖(2)所示，將側(cè)面BB₁C₁C繞棱CC₁旋轉(zhuǎn)120°使其與側(cè)面AA₁C₁C在同一平面上，點P運動到點P₁的位置，連結(jié)MP₁，則MP₁就是由點P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱CC₁到點M的最短路線.

                  (2)

設(shè)PC=x，則P₁C=x,

在Rt△MAP₁中，由勾股定理得(3+x)²+2²=29,求得x=2.

∴PC=P₁C=2.

∵,

∴NC=.

(3)如圖(3)所示，連結(jié)PP₁.

            (3)

則PP₁就是平面NMP與平面ABC的交線.

作NH⊥PP₁于H，又CC₁⊥平面ABC，連結(jié)CH.

由三垂線定理得CH⊥PP₁,

∴∠NHC就是平面NMP與平面ABC所成二面角的平面角(銳角).

在Rt△PHC中，

∵∠PCH=∠PCP₁=60°，

∴CH==1.

在Rt△NCH中，

tan∠NHC=.

故平面NMP與平面ABC所成二面角(銳角)的大小為arctan.