Question

【題目】設函數(shù).

（1）若對定義域內(nèi)的任意，都有成立，求實數(shù)的值；

（2）若函數(shù)的定義域上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若，證明對任意的正整數(shù)， .

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）由，得的定義域為，因為對，都有成立，所以是函數(shù)的最小值，所以，即可求解的值；（2）由，函數(shù)在定義域上單調(diào)函數(shù)，知或在上恒成立，由此能求出實數(shù)的取值范圍；（3）當時，函數(shù)，令，

則，由此入手能夠證明.

試題解析：（1）由,得．∴的定義域為．

因為對x∈,都有，∴是函數(shù)的最小值，故有．

解得．

經(jīng)檢驗，時，在上單調(diào)減，在上單調(diào)增．為最小值．故得證．

（2）∵又函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，

∴或在上恒成立．

若，則在上恒成立,

即=恒成立,由此得；

若,則在上恒成立,

即=恒成立．

因在上沒有最小值，∴不存在實數(shù)使恒成立．

綜上所述，實數(shù)的取值范圍是．

（3）當時，函數(shù)．

令，

則．

當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減．

又，當時，恒有，即恒成立．

故當時，有．

而，．取，則有．

．所以結(jié)論成立．