Question

9．在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，∠CDA=∠BAD=90°，AD=DC=$\sqrt{2}$，AB=PA=2$\sqrt{2}$，且E為線段PB上的一動點．
（1）若E為線段PB的中點，求證：CE∥平面PAD；
（2）當直線CE與平面PAC所成角小于$\frac{π}{3}$，求PE長度的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）取PA的中點F，連結(jié)EF，DF，證明四邊形EFDC是平行四邊形得出CE∥DF，故而CE∥平面PAD；
（2）證明BC⊥平面PAC，可知∠PCE為CE與平面PAC所成的角，利用余弦定理得出∠BPC，利用勾股定理得出PE的最大值即可得出PE的范圍．

解答 證明：（1）取PA的中點F，連結(jié)EF，DF，
則EF∥AB，EF=$\frac{1}{2}$AB，
又DC∥AB，DC=$\frac{1}{2}$AB，
∴EF∥CD，EF=DC，
∴四邊形EFDC是平行四邊形，
∴CE∥DF，又CE?平面PAD，DF?平面PAD，
∴CE∥平面PAD．
解：（2）∵AD=CD=$\sqrt{2}$，AD⊥CD，∴AC=2，
又AB=2$\sqrt{2}$，∠BAC=45°，∴BC=2，
∴AC⊥BC，
又PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PA⊥BC，又PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC，
過E作EM∥BC，則EM⊥平面PAC，
∴∠PCE為CE與平面PAC所成的角，即∠PCE＜$\frac{π}{3}$．
∵PA=2$\sqrt{2}$，AC=2，∴PC=2$\sqrt{3}$，BC=2，PB=4，
∴∠BPC=$\frac{π}{6}$，
∴當∠PCE=$\frac{π}{3}$時，CE⊥PB，此時PE=3，
∴當∠PCE$＜\frac{π}{3}$時，PE＜3．

點評 本題考查了線面平行的判定，線面垂直的判定，屬于中檔題．