Question

19．在平面直角坐標(biāo)系中，定義d（P、Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|為P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）兩點(diǎn)之間的“折線距離”．則直線$\frac{x}{4}$+$\frac{y}{3}$=1上的一點(diǎn)Q與拋物線x²=-8y上的一點(diǎn)P之間的“折線距離”的最小值為$\frac{15}{8}$．

Answer 1

分析 先固定點(diǎn)P，從而可推出d（P、Q）的最小值為|y₁-y₂|，再求點(diǎn)P到直線$\frac{x}{4}$+$\frac{y}{3}$=1上的距離的最小值，從而求得．

解答 解：先固定點(diǎn)P，
如圖，d（P、Q）=PG+GQ，d（P、Q₁）=PG+GQ₁；
而直線方程為$\frac{x}{4}$+$\frac{y}{3}$=1，
故GQ＞GQ₁，
故d（P、Q）的最小值為d（P、Q₁）=|y₁-y₂|，
再使點(diǎn)P在拋物線x²=-8y上運(yùn)動，
點(diǎn)P到直線$\frac{x}{4}$+$\frac{y}{3}$=1上的距離的最小值為$\frac{3}{2}$；
故$\frac{3}{2}$×$\frac{5}{4}$=$\frac{15}{8}$；
故答案為：$\frac{15}{8}$．

點(diǎn)評 本題考查了學(xué)生對新定義的接受能力與應(yīng)用能力，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，屬于中檔題．