Question

4．已知△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足$sinA（sinB+\sqrt{3}cosB）=\sqrt{3}sinC$．
（1）求角A的大小；    
（2）若a=3，求△ABC周長的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由三角形內(nèi)角和定理及三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可得$sinAsinB=\sqrt{3}cosAsinB$，又sinB≠0，由此得$tanA=\sqrt{3}$，結(jié)合范圍0＜A＜π，即可求A．
（2）由上可知$C=\frac{2π}{3}-B$．由正弦定理得：$2R=\frac{a}{sinA}=\frac{3}{{sin\frac{π}{3}}}=2\sqrt{3}$，可得b+c=6sin（B+$\frac{π}{6}$），結(jié)合B的范圍即可求得b+c的范圍，結(jié)合a=3，即可得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）由A+B+C=π，得sinC=sin（A+B），代入已知條件得：$sinAsinB+\sqrt{3}sinAcosB=\sqrt{3}sinAcosB+\sqrt{3}cosAsinB$，…（1分）
即：$sinAsinB=\sqrt{3}cosAsinB$，…（3分）
∵sinB≠0，由此得$tanA=\sqrt{3}$，…（4分）
∵0＜A＜π，
∴$A=\frac{π}{3}$．…（6分）
（2）由上可知：$B+C=\frac{2π}{3}$，
∴$C=\frac{2π}{3}-B$．
由正弦定理得：$2R=\frac{a}{sinA}=\frac{3}{{sin\frac{π}{3}}}=2\sqrt{3}$，…（7分）
∴$b+c=2R（sinB+sinC）=2\sqrt{3}[sinB+sin（\frac{2π}{3}-B）]$=$2\sqrt{3}（\frac{3}{2}sinB+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosB）=6sin（B+\frac{π}{6}）$，…（9分）
∵由$0＜B＜\frac{2π}{3}$得：$\frac{1}{2}＜sin（B+\frac{π}{6}）≤1$，
∴3＜b+c≤6，且a=3，
∴△ABC周長的取值范圍為（6，9]．…（12分）

點評 本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，正弦定理，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，屬于中檔題．