Question

8．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c．
（1）若f（x）滿足對任意的x都有f（-1-x）=f（-1+x），且f（0）=1，f（x）_min=0．求f（x）的解析式；
（2）若a=1，c=0，且|f（x）|≤1在區(qū)間（0，1]上恒成立，試求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用條件，可知函數(shù)的對稱軸為x=-1，最小值1-$\frac{^{2}}{4a}$=0，代入可解；
（2）求出函數(shù)表達(dá)式f（x）=x²+bx，問題可轉(zhuǎn)換為b≤$\frac{1}{x}$-x且b≥-$\frac{1}{x}$-x在（0，1]上恒成立，再轉(zhuǎn)換為最值問題解出b的范圍．

解答 解：（1）∵f（0）=1
∴c=1，
∵f（-1-x）=f（-1+x），f（x）_min=0
∴對稱軸為x=-1，
∴-$\frac{2a}$=-1，1-$\frac{^{2}}{4a}$=0
∴a=1，b=2
∴f（x）=（x+1）²…（7分）
（2）由題知，f（x）=x²+bx，
∴原命題等價(jià)于-1≤x²+bx≤1在（0，1]上恒成立，
即b≤$\frac{1}{x}$-x且b≥-$\frac{1}{x}$-x在（0，1]上恒成立．
又x∈（0，1]時(shí)，$\frac{1}{x}$-x的最小值為0，-$\frac{1}{x}$-x的最大值為-2，
∴-2≤b≤0．即b的取值范圍是[-2，0]…（7分）

點(diǎn)評 考察了二次函數(shù)表達(dá)式的求法和恒成立問題的轉(zhuǎn)換，屬于常規(guī)題型，應(yīng)熟練掌握解題方法．