Question

18．設(shè)f（x）=|x-a|-$\frac{4}{x}$+a，x∈[1，6]，a∈（1，6）．
（Ⅰ）若a∈（1，2]，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用絕對值的定義，將f（x）轉(zhuǎn)化，討論a∈（1，2]，函數(shù)f（x）在[1，a]上，在[a，6]上的單調(diào)性即可得到；
（Ⅱ）討論①當(dāng)1＜a≤2時，②當(dāng)2＜a＜6時，函數(shù)的單調(diào)性，即可得到最小值．

解答 解：（Ⅰ）首先f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2a-（x+\frac{4}{x}），1≤x≤a}\\{x-\frac{4}{x}，a＜x≤6}\end{array}\right.$，
因?yàn)楫?dāng)1＜a≤2時，f（x）在[1，a]上是增函數(shù)，在[a，6]上也是增函數(shù)．
所以當(dāng)1＜a≤2時，y=f（x）在[1，6]上是增函數(shù)；      
（Ⅱ）①當(dāng)1＜a≤2時，由（Ⅰ）知，f（x）_min=f（1）=2a-5，
 ②當(dāng)2＜a＜6時，f（x）在[1，2]上是增函數(shù)，在[2，a]上是減函數(shù)，在[a，6]上是增函數(shù)．                                                   
又f（1）=2a-5，f（a）=a-$\frac{4}{a}$，且f（1）-f（a）=a+$\frac{4}{a}$-5＞0，解得4＜a＜6
所以當(dāng)2＜a＜4時，f（x）_min=f（1）=2a-5，
當(dāng)4≤a＜6時，f（x）_min=f（a）=a-$\frac{4}{a}$．
綜上可知，f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{2a-5，1＜a＜4}\\{a-\frac{4}{a}，4≤a＜6}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評 本題考查分段函數(shù)的運(yùn)用，主要考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值的求法，注意運(yùn)用分類討論的思想方法和函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．