Question

12．已知函數(shù)f（x）=x（x-m）²+1（m∈R）在x=1處有極大值．
（1）求m的值；
（2）求f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，5]上的值域．

Answer 1

分析 （1）對函數(shù)f（x）求導，利用函數(shù)的導函數(shù)與極值的關(guān)系，令導函數(shù)等于0即可解出m的值．
（2）根據(jù)導數(shù)和函數(shù)最值的關(guān)系即可求出函數(shù)的值域．

解答 解：（1）∵f′（x）=（x-m）²+2x（x-m）=3x²-4mx+m²，且f（x）=x（x-m）²+1（m∈R）在x=1處有極大值，
∴f′（1）=0，即m²-4m+3=0，解得m=1或3．
經(jīng)檢驗m=1時，函數(shù)f（x）在x=1處取得極小值，不符合題意，應舍去．
故m=3．
（2）由（1）知f′（x）=3x²-12x+9，令f′（x）=0，解得x=1或x=3，
當f′（x）＞0時，即$\frac{1}{2}$≤x＜1，或3＜x≤5，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
當f′（x）＞0時，即1＜x＜3，函數(shù)f（x）為減函數(shù)，
f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{33}{8}$，f（3）=1，f（1）=5，f（5）=21，
∴f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，5]上的值域為[1，21]

點評 本題考查了導數(shù)和函數(shù)的極值和最值的關(guān)系，關(guān)鍵是判斷函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．