Question

經(jīng)過一點只能有一條直線和一個平面垂直.

已知：一點A和平面α.

求證：經(jīng)過點A只能有一條直線和平面α垂直.

Answer 1

證明：根據(jù)點A和平面α的位置關(guān)系，分兩種情況證明.

(1)如圖(1)所示，點A在平面α內(nèi).假設(shè)經(jīng)過點A至少有平面α的兩條垂線AB、AC，那么AB、AC是兩條相交直線，它們確定一個平面β，平面β和平面α相交于經(jīng)過點A的一條直線a.

因為AB⊥平面α，AC⊥平面α，aα,

所以AB⊥a,AC⊥a,在平面β內(nèi)經(jīng)過A有兩條垂線都和直線a垂直，這與平面幾何中經(jīng)過直線上一點只能有已知直線的一條垂線相矛盾.

(2)如圖(2)所示，點A在平面α外，假設(shè)經(jīng)過點A至少有平面α的兩條垂線AB和AC(B、C為垂足)，那么AB、AC是兩條相交直線，它們確定一個平面β，平面β和平面α相交于直線BC.因為AB⊥平面α，AC⊥平面α,BCα，所以AB⊥BC，AC⊥BC.

    在平面β內(nèi)經(jīng)過點A有兩條直線都和BC垂直，與平面幾何中經(jīng)過直線外一點只能有已知直線的一條垂線相矛盾.

    綜上，經(jīng)過一點A只能有平面α的一條垂線.