Question

3．如圖，在斜三棱柱ABCD-A₁B₁C₁中，側面ACC₁A₁與側面CBB₁C₁都是菱形，∠B₁C₁C=∠C₁CA=60°，AC=2，其中M，N分別是AB，B₁C₁的中點，
（1）求證：MN∥平面AC₁
（2）若AB₁=$\sqrt{6}$，求二面角C-AB₁-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取AC中點E，連接ME，EC₁，則可證明四邊形MEC₁N為平行四邊形，從而得到MN∥EC₁，這樣根據線面平行的判定定理即可得出MN∥平面AC₁；
（2）取CC₁的中點O，連接AO，B₁O，則可說明OB₁，OC₁，OA三直線兩兩垂直，從而可分別以這三直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，然后求出圖形上一些點的坐標．設平面CAB₁的法向量為$\overrightarrow{m}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，根據$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=0}\end{array}\right.$即可求出法向量$\overrightarrow{m}$，同樣的方法求出平面BAB₁的法向量$\overrightarrow{n}$，這樣即可求出$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$，從而求出二面角C-AB₁-B的余弦值．

解答 解：（1）證明：如圖，取AC的中點E，連接ME，EC₁，則：
ME∥BC，∴ME∥B₁C₁；
∴ME∥NC₁，且ME=NC₁；
所以四邊形MEC₁N是平行四邊形，得MN∥EC₁；
又MN?平面AC₁，EC₁?平面AC₁；
∴MN∥平面AC₁；
（2）取CC₁的中點O，連接OA，OB₁，AC₁，B₁C；
由條件△ACC₁和B△B₁CC₁都為等邊三角形；
∴AO⊥CC₁，B₁O⊥CC₁，且$AO={B}_{1}O=\sqrt{3}$；
又$A{B}_{1}=\sqrt{6}$；
∴OA⊥OB₁；
∴OB₁，OC₁，OA三直線兩兩垂直，分別以這三直線為x，y，z軸建立如圖所示空間直角坐標系，則：

C（0，-1，0），B₁（$\sqrt{3}$，0，0），A（0，0，$\sqrt{3}$），B（$\sqrt{3}$，-2，0）；
連接AB₁，設平面CAB₁的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），$\overrightarrow{AB1}$=（$\sqrt{3}$，0，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AC}$=（0，-1，-$\sqrt{3}$），則：
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=\sqrt{3}{x}_{1}-\sqrt{3}{z}_{1}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=-{y}_{1}-\sqrt{3}{z}_{1}=0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}={z}_{1}}\\{{y}_{1}=-\sqrt{3}{x}_{1}}\end{array}\right.$，取z₁=1，則$\overrightarrow{m}$=（1，-$\sqrt{3}$，1）；
同樣，設平面BAB₁的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x₂，y₂，z₂），$\overrightarrow{AB1}$=（$\sqrt{3}$，0，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（0，2，0）；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=\sqrt{3}{x}_{1}-\sqrt{3}{z}_{1}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{B}_{1}}=2{y}_{2}=0}\end{array}\right.$，取z₁=1，$\overrightarrow{n}=（1，0，1）$；
則cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}=\frac{2}{\sqrt{5}•\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$；
所以二面角C-AB₁-B的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

點評 考查中位線的性質，平行四邊形的定義，以及線面平行的判定定理，直角三角形邊的關系，等邊三角形的中線也是高線，平面法向量的概念及求法，線面垂直的性質，兩非零向量垂直的充要條件，以及向量夾角余弦的坐標公式，弄清兩平面法向量夾角和兩平面形成二面角的大小的關系．