Question

13．已知橢圓E的右焦點與拋物線y²=4x的焦點重合，點M$（1，\frac{3}{2}）$在橢圓E上．
（Ⅰ）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)P（-4，0），直線y=kx+1與橢圓E交于A，B兩點，若∠APO=∠BPO，（其中O為坐標(biāo)原點），
求k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出拋物線的焦點，可得橢圓的焦點，由橢圓的定義，運用兩點的距離公式可得2a=4，即a=2，再由a，b，c的關(guān)系，可得b，進而得到橢圓方程；
（Ⅱ）若∠APO=∠BPO，則k_PA+k_PB=0，設(shè)A（x₁，kx₁+1），B（x₂，kx₂+1），運用直線的斜率公式，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運用韋達(dá)定理，化簡整理可得k的方程，解方程即可得到k的值．

解答 解：（Ⅰ）因為拋物線焦點為（1，0），所以橢圓的焦點坐標(biāo)為F₂（1，0），F(xiàn)₁（-1，0），
又因為M（1，$\frac{3}{2}$）在橢圓上，
 所以2a=|MF₁|+|MF₂|=$\sqrt{（1+1）^{2}+\frac{9}{4}}$+$\frac{3}{2}$=4，
即a=2，又因為c=1  所以b²=a²-c²=3，
所以橢圓的方程是$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）若∠APO=∠BPO，則k_PA+k_PB=0，
設(shè)A（x₁，kx₁+1），B（x₂，kx₂+1），
∴$\frac{{k{x_1}+1}}{{{x_1}+4}}+\frac{{k{x_2}+1}}{{{x_2}+4}}={0^{\;}}即2k{x_1}{x_2}+（4k+1）（{x_1}+{x_2}）+8=0$，
聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\end{array}}\right.$，消去y得到（3+4k²）x²+8kx-8=0，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{-8k}{{3+4{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{-8}{{3+4{k^2}}}$，
∴$\frac{-16k}{{3+4{k^2}}}+（4k+1）\frac{-8k}{{3+4{k^2}}}+8=0$，
即-16k-32k²-8k+24+32k²=0，
∴k=1．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用定義法和基本量的關(guān)系，考查直線的斜率的求法，注意運用聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運用韋達(dá)定理和直線的斜率公式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．