Question

已知函數(shù)f（x）=

1

x2

e-

1

|x|

（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）
（Ⅰ）判斷f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）在（-∞，0）上求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）證明：當x＞0時，對任意正整數(shù)n都有f（

1

x

）＜n！•x^2-n．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)奇偶性的判斷,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)即可求出函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性之間的關(guān)系，即可證明：當x＞0時，對任意正整數(shù)n都有f（

1

x

）＜n！•x^2-n．

解答： 解：（Ⅰ）∵f(-x)=

1

(-x)2

e-

1

|-x|

=

1

x2

e-

1

|x|

=f(x)，
∴f（x）是偶函數(shù)，
（Ⅱ）當x＜0時，f(x)=

1

x2

e

1

x

f′(x)=

-2

x3

e

1

x

+

1

x2

e

1

x

(-

1

x2

)=-

1

x4

e

1

x

(2x+1)
令f'（x）=0有x=-0.5，
當x變化時f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	(-∞， 1 2 )	- 1 2	（- 1 2 ，0)
f'（x）	+	0	-
f（x）	增	極大值	減

由表可知：當x=-

1

2

時，f（x）取極大值4e^-2．
（Ⅲ）當x＞0時f(x)=

1

x2

e-

1

x

，
∴f(

1

x

)=x2e-x
考慮到：x＞0時，不等式f(

1

x

)＜n!•x2-n等價于x²e^-x＜n!•x^2-n?xⁿ＜n!•e^x（﹡）
所以只要用數(shù)學歸納法證明不等式（﹡）對一切n∈N^*都成立即可
（i）當n=1時，設(shè)g（x）=e^x-x，（x＞0），
∵x＞0時，g'（x）=e^x-1＞0，∴g（x）是增函數(shù)，
故g（x）＞g（0）=1＞0，即e^x＞x，（x＞0）
所以，當n=1時，不等式（﹡）成立      
（ii）假設(shè)n=k（k∈N^*）時，不等式（﹡）成立，即x^k＜k!•e^x
當n=k+1時設(shè)h（x）=（k+1）!•e^x-x^k+1，（x＞0）
有h'（x）=（k+1）!•e^x-（k+1）x^k=（k+1）（k!•e^x-x^k）＞0
故h（x）=（k+1）!•e^x-x^k+1，（x＞0）為增函數(shù)，
所以，h（x）＞h（0）=（k+1）!＞0，即x^k+1＜（k+1）!•e^x，
這說明當n=k+1時不等式（﹡）也成立，
根據(jù)（i）（ii）可知不等式（﹡）對一切n∈N^*都成立，
故原不等式對一切n∈N^*都成立．

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性，極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，綜合性較強，難度較大．