Question

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求在點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）若對(duì)任意的，在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）利用函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)的解析式求得切點(diǎn)和切線斜率，從而得到切線方程；（Ⅱ）通過導(dǎo)數(shù)可知單調(diào)性由的符號(hào)決定；分別在、兩種情況下判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，從而得到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）通過變量遷移可將問題變?yōu)?/span>在上恒成立的問題；由與的符號(hào)易判斷；構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)正負(fù)可知時(shí)滿足題意；而當(dāng)時(shí)，由于存在使得，從而可知時(shí)，不等式不成立；由此總結(jié)可得結(jié)果.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，

，

函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為

（Ⅱ）由題意，

（�。┊�(dāng)時(shí)，

令，得；，得

所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，

令，得；，得或

所以在單調(diào)遞增，在，單調(diào)遞減

（Ⅲ）令，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，則

則對(duì)恒成立等價(jià)于

即，對(duì)恒成立.

（ⅰ）當(dāng)時(shí)，，，

此時(shí)，不合題意，舍去

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，令，

則

其中對(duì)，

令，則在區(qū)間上單調(diào)遞增

①當(dāng)時(shí)，

所以對(duì)，，則在上單調(diào)遞增

故對(duì)任意，

即不等式在上恒成立，滿足題意

②當(dāng)時(shí)，由

又且在區(qū)間上單調(diào)遞增

所以存在唯一的使得，且時(shí)，

即，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減

則時(shí)，，即，不符合題意

綜上所述，