Question

已知函數(shù)f（x）=x³-（k²-k+1）x²+5x-2，g（x）=k²x²+kx+1，其中x∈R。
（1）設(shè)函數(shù)p（x）=f（x）+g（x）。若p（x）在區(qū)間（0，3）上不單調(diào)，求k的取值范圍；
（2）設(shè)函數(shù)，否存在k，對(duì)任意給定的非零實(shí)數(shù)x₁，存在唯一的非零實(shí)數(shù)x₂（x₂≠x₁），使得q'（x₂）=q'（x₁）成立？若存在，求k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）p（x）=f（x）+g（x）=x³+（k-1）x²+（k+5）x-1，
P '（x）=3x²+2（k-1）x+（k+5）
因?yàn)閜（x）在（0，3）上不單調(diào)，
所以p'（x）=0在（0，3）上有實(shí)數(shù)解，且無(wú)重根，
由p'（x）=0，得k（2x+1）=-（3x²-2x+5）
即
令t=2x+1，有t∈（1，7），記
則h（t）在（1，3]上單調(diào)遞減，在[3，7）上單調(diào)遞增，
所以，h（t）∈[6，10）
于是
得k∈（-5，-2]
而當(dāng)k=-2時(shí)，p'（x）=0在（0，3）上有兩個(gè)相等的實(shí)根x=1，
故舍去，所以k∈（-5，-2）。
（2）由題意，得當(dāng)x<0時(shí)，
q'（x）=f'（x）=3x²-2（k²-k+1）x+5
當(dāng)x>0時(shí)，g'（x）=g'（x）=2k²x+k．
因?yàn)楫?dāng)k=0時(shí)不合題意，所以k≠0
下面討論k≠0的情形
記A={g'（x）|x>0}，B={f'（x）|x<0}
則A=（k，+∞），B=（5，+∞）
（i）當(dāng)x₁>0時(shí)，q'（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
所以要使q'（x₂）=q'（x₁）成立，只能x₂<0，且AB，因此k≥5；
（ii）當(dāng)x₁<0時(shí)，q'（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，
所以要使q'（x₂）=q'（x₁）成立，只能x₂>0，且BA，因此k≤5
綜合（i）（ii），得k=5。
當(dāng)k=5時(shí)，有A=B
則
即，使得q'（x₂）=q'（x₁）成立
因?yàn)閝'（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以x₂是唯一的。
同理，存在唯一的非零實(shí)數(shù)x₂（x₂≠x₁），使得q'（x₂） =q'（x₁）成立
所以k=5滿足題意。