Question

數(shù)列{a_n}滿足·a₁+·a₂+…+·a_n=5+2n(n∈N^*),求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和S_n的公式.

   

Answer 1

思路分析：在{a_n}滿足的關(guān)系式中，設(shè)b_n=·a_n,則左式即為{b_n}的前n項(xiàng)和，由此可以利用{b_n}的前n項(xiàng)和減去前n-1項(xiàng)和，先求b_n，然后再求a_n.

    解:因?yàn)?SUB>·a₁+·a₂+…+·a_n=2n+5,      ①

    所以當(dāng)n≥2時(shí)，有

·a₁+·a₂+…+·a_n-1=2(n-1)+5.          ②

①式-②式可得·a_n=2(n≥2),

    所以a_n=2×2ⁿ=2ⁿ⁺¹(n≥2).

    在①式中令n=1，可得·a₁=2+5=7,

    即a₁=14.所以a_n=

    顯然S₁=a₁=14.

    當(dāng)n≥2時(shí)，S_n=a₁+a₂+…+a_n

=14+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹

=14+=2ⁿ⁺²+6.

    綜上可得S_n=2ⁿ⁺²+6(n∈N^*).