Question

（（本小題滿分14分）

在數列{a_n}中,a₁=1,a_n+1= (n∈N*)

(Ⅰ)求a_2,a_3,a_4;

(Ⅱ)猜想a_n，并用數學歸納法證明

(Ⅲ)若數列b_n= ，求數列{b_n}的前n項和s_n

 

Answer 1

【答案】

解答：（Ⅰ）∵a₁=1,a_n+1=

∴a₂= = ,a₃ = = ,a₄ = = .……………3分

(Ⅱ)猜想：a_n=�！�…………………………………………4分

下面用數學歸納法證明：

1°當n=1時,a₁==1,等式成立�！�………………………………………5分

2°假設當n=k時，a_k=成立。……………………………………………6分

則n=k+1時,

a_k+1====

即n=k+1時,等式也成立, ……………………………………………9分

由數學歸納法知:a_n=對n∈N^*都成立。……………………………………………10分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知：b_n===２[-]…………………………………11分

從而s_n=b₁+b₂+…+b_n

=2[(1-)+(-)+…+(-)]=2[1-]=…………………………14分

【解析】略