Question

利用單調(diào)函數(shù)的定義證明：函數(shù)f（x）=x+

2

x

在區(qū)間（0，

2

）上是減函數(shù)．

Answer 1

分析：設(shè) 0＜x1＜x2＜

2

，化簡f（x₁）-f（x₂） 為

(x1-x2)(x1x2-2)

x1x2

，判斷它的符號大于零，再根據(jù)減函數(shù)的定義得出結(jié)論．

解答：證明：設(shè) 0＜x1＜x2＜

2

，（1分）
則 f（x₁）-f（x₂）=（x1+

1

x1

 ）-（x2+

1

x2

）=（x₁-x₂ ）+2（

1

x1

- 

1

x2

）   （4分）
=

(x1-x2)(x1x2-2)

x1x2

   （6分）
由

0＜x1＜x2＜ 2

  可得 0＜x₁x₂＜2，x₁-x₂＜0． 
∴

(x1-x2)(x1x2-2)

x1x2

＞0，即 f（x₁）＞f（x₂），
由單調(diào)函數(shù)的定義可知，函數(shù)函數(shù)f（x）=x+

2

x

在區(qū)間（0，

2

）上是減函數(shù)．（12分）

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，屬于基礎(chǔ)題．