Question

【題目】已知無窮數(shù)列的前項中的最大項為，最小項為，設(shè).

（1）若，求數(shù)列的通項公式；

（2）若，求數(shù)列的前項和；

（3）若數(shù)列是等差數(shù)列，求證：數(shù)列是等差數(shù)列.

Answer 1

【答案】（1）；（2），當時，；（3）證明見解析

【解析】

（1）利用數(shù)列的通項公式判斷其增減性，從而確定，的表達式，進而求出數(shù)列的通項公式；

（2）由計算，時，數(shù)列單調(diào)遞減，所以當時，，利用分組求和和錯位相減法求和計算即可得到答案；

（3）設(shè)數(shù)列的公差為，則，討論，三種情況，分別證明數(shù)列為等差數(shù)列即可.

（1）由得是遞增數(shù)列，

所以，

所以.

（2）由得，

當，，即；

當，，即.

又，

所以，當時，，

所以，

當時，令，

則，即.

所以

.

綜上所述，，當時，.

（3）設(shè)數(shù)列的公差為，

則，

由題意，

①，對任意都成立，

即，所以是遞增數(shù)列.

所以，

所以，

所以數(shù)列是公差為的等差數(shù)列；

②當時，對任意都成立，

進面，

所以是遞減數(shù)列.，

所以

所以數(shù)列是公差為的等差數(shù)列；

③當時，，

因為與中至少有一個為0，

所以二者都為0，進而可得數(shù)列為常數(shù)列，

綜上所述，數(shù)列為等差數(shù)列.