Question

7．已知函數(shù)f（x）=$2cos（2x+\frac{π}{6}）$，（x∈R）給出下面四個命題，
①函數(shù)f（x）的最小正周期為2π
②函數(shù)f（x）的圖象關于點$（\frac{π}{6}，0）$對稱
③函數(shù)f（x）的圖象可由y=2cos2x的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位得到
④函數(shù)$f（x+\frac{π}{6}）$是奇函數(shù)，
以上正確的命題是（　�。�

• A． ①②
• B． ③④
• C． ②④
• D． ②③

Answer 1

分析 由條件利用誘導公式、函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性以及它們的圖象的對稱性，得出結論．

解答 解：對于函數(shù)f（x）=$2cos（2x+\frac{π}{6}）$，它的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π，故①不正確．
當x=$\frac{π}{6}$時，函數(shù)f（x）=2cos$\frac{π}{2}$=0，故函數(shù)f（x）的圖象關于點$（\frac{π}{6}，0）$對稱，故②正確．
y=2cos2x的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位得到函數(shù)y=2cos2（x+$\frac{π}{6}$）=2cos（2x+$\frac{π}{3}$），故③不正確．
函數(shù)$f（x+\frac{π}{6}）$=2cos[2（x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=2cos（2x+$\frac{π}{2}$）=-sin2x，是奇函數(shù)，故④正確．
故選：C．

點評 本題主要考查誘導公式的應用，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性以及它們的圖象的對稱性，屬于基礎題．