Question

已知數(shù)列{a_n}:a₁,a₂,a₃,…,a_n,…,構(gòu)造一個(gè)新數(shù)列:a₁,(a₂-a₁),(a₃-a₂),…,(a_n-a_n-1),…,此數(shù)列是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)；

(2)求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n.

   

Answer 1

思路分析：通過(guò)觀察，不難發(fā)現(xiàn)，新數(shù)列的前n項(xiàng)和恰為a_n，這樣即可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式求出后，計(jì)算其前n項(xiàng)和S_n就容易多了.

    解:(1)a_n=a₁+(a₂-a₁)+(a₃-a₂)+…+(a_n-a_n-1)

=1++()²+…+()^n-1

==［1-()ⁿ］.

(2)S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n

=(1-)+［1-()²］+［1-()³］+…+［1-()ⁿ］

={n-［1++()²+…+()^n-1］}

=n-·

=n-［1-()ⁿ］=(2n-1)+()^n-1.