Question

22.設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為是橢圓上的一點(diǎn)，，原點(diǎn)到直線的距離為.

（Ⅰ）證明；

（Ⅱ）設(shè)為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，過(guò)原點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，求點(diǎn)的軌跡方程.

Answer 1

（Ⅰ）證法一：由題設(shè)及，，不妨設(shè)點(diǎn)，其中.由于點(diǎn)在橢圓上，有，即.

解得，從而得到.

直線的方程為，整理得.

由題設(shè)，原點(diǎn)到直線的距離為，即，

將代入上式并化簡(jiǎn)得，即.

證法二：同證法一，得到點(diǎn)的坐標(biāo)為.

過(guò)點(diǎn)作，垂足為，易知，故.

由橢圓定義得，又，

所以，

解得，而，得，即.

（Ⅱ）解法一：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為.

當(dāng)時(shí)，由知，直線的斜率為，所以直線的方程為，或，其中，.

點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組

將①式代入②式，得，

整理得，

于是，.

由①式得

.

由知.將③式和④式代入得，

.

將代入上式，整理得.

當(dāng)時(shí)，直線的方程為，的坐標(biāo)滿足方程組

所以，.

由知，即，

解得.

這時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)仍滿足.

綜上，點(diǎn)的軌跡方程為　.

解法二：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為，由，垂足為，可知直線的方程為.

記（顯然），點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組

由①式得.　　　　　　 ③

由②式得.　　�、�

將③式代入④式得.

整理得，

于是.　　　      ⑤

由①式得.　　　       ⑥

由②式得.　　   ⑦

將⑥式代入⑦式得，

整理得，

于是.　　　        ⑧

由知.將⑤式和⑧式代入得，

.

將代入上式，得.

所以，點(diǎn)的軌跡方程為.