Question

6．已知函數f（x）=4ax-$\frac{a}{x}$-2lnx．
（Ⅰ）當a=1時，求曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若函數f（x）在其定義域內為增函數，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）設函數g（x）=$\frac{6e}{x}$，若在區(qū)間[1，e]上至少存在一點x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的導數，求出f′（1），f（1），代入切線方程即可；
（Ⅱ）求出函數的導數，通過討論a的范圍結合二次函數的性質得到函數的單調性，從而求出a的具體范圍；
（Ⅲ）構造函數ϕ（x）=f（x）-g（x），x∈[1，e]，只需ϕ（x）_max＞0，根據函數的單調性求出ϕ（x）_max，從而求出a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）當a=1時，$f（x）=4x-\frac{1}{x}-2lnx$，
f（1）=4-1-2ln1=3，…（1 分）
$f'（x）=4+\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}$，…（2 分）
曲線f（x）在點（1，f（1））處的斜率為f′（1）=3，…（3 分）
故曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y-3=3（x-1），
即y=3x．…（4 分）
（Ⅱ）$f'（x）=4a+\frac{a}{x^2}-\frac{2}{x}=\frac{{4a{x^2}-2x+a}}{x^2}$．…（5 分）
令h（x）=4ax²-2x+a，要使f（x）在定義域（0，+∞）內是增函數，
只需h（x）≥0在區(qū)間（0，+∞）內恒成立．…（6 分）
依題意a＞0，此時h（x）=4ax²-2x+a的圖象為開口向上的拋物線，
$h（x）=4a{（x-\frac{1}{4a}）^2}+（a-\frac{1}{4a}）$，
其對稱軸方程為$x=\frac{1}{4a}∈（0{，_{\;}}+∞）$，$h{（x）_{min}}=a-\frac{1}{4a}$，
則只需$a-\frac{1}{4a}$≥0，即a≥$\frac{1}{2}$時，h（x）≥0，f'（x）≥0，…（8 分）
所以f（x）定義域內為增函數，實數a的取值范圍是$[\frac{1}{2}{，_{\;}}+∞）$．…（9 分）
（Ⅲ）解：構造函數ϕ（x）=f（x）-g（x），x∈[1，e]，
依題意ϕ（x）_max＞0，…（10分）
由（Ⅱ）可知a≥$\frac{1}{2}$時，ϕ（x）=f（x）-g（x）為單調遞增函數，
即$ϕ（x）=a（4x-\frac{1}{x}）-2lnx-\frac{6e}{x}$在[1，e]上單調遞增，…（12分）
$ϕ{（x）_{max}}=ϕ（e）=a（4e-\frac{1}{e}）-8＞0$，則$a＞\frac{8e}{{4{e^2}-1}}＞\frac{8e}{{4{e^2}}}=\frac{2}{e}＞\frac{1}{2}$，
此時，ϕ（e）=f（e）-g（e）＞0，即f（e）＞g（e）成立．
當a≤$\frac{8e}{{4{e^2}-1}}$時，因為x∈[1，e]，$4x-\frac{1}{x}＞0$，
故當x值取定后，ϕ（x）可視為以a為變量的單調遞增函數，
則ϕ（x）≤$\frac{8e}{{4{e^2}-1}}（4x-\frac{1}{x}）-2lnx-\frac{6e}{x}$，x∈[1，e]，
故ϕ（x）≤$\frac{8e}{{4{e^2}-1}}（4e-\frac{1}{e}）-2lne-\frac{6e}{e}=0$，
即f（x）≤g（x），不滿足條件．
所以實數a的取值范圍是$（\frac{8e}{{4{e^2}-1}}{，_{\;}}+∞）$．…（14分）

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及函數恒成立問題，是一道綜合題．