Question

某光學(xué)儀器廠有一條價(jià)值為萬(wàn)元的激光器生產(chǎn)線，計(jì)劃通過(guò)技術(shù)改造來(lái)提高該生產(chǎn)線的生產(chǎn)能力，提高產(chǎn)品的增加值. 經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，產(chǎn)品的增加值萬(wàn)元與技術(shù)改造投入萬(wàn)元之間滿(mǎn)足：①與成正比；②當(dāng)時(shí)，，并且技術(shù)改造投入滿(mǎn)足，其中為常數(shù)且.

（I）求表達(dá)式及定義域；

（II）求技術(shù)改造之后，產(chǎn)品增加值的最大值及相應(yīng)的值.

Answer 1

解：（I）設(shè).

  由時(shí)，可得.

  所以.          ………………………………………………………3分

  由解得.

  所以函數(shù)的定義域?yàn)?sub>.      ………………………………6分

（II）由（I）知，所以.

  令得.      ………………………………………………………………8分

  因?yàn)?sub>，所以，即.

  當(dāng)時(shí)，，函數(shù)是增函數(shù)；

  當(dāng)時(shí)，，函數(shù)是減函數(shù).   ……………………………11分

  所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，且最大值是.  …………………..13分

  所以，時(shí)，投入萬(wàn)元最大增加值萬(wàn)元.    ………………………14分