Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和，數(shù)列為等比數(shù)列，且首項b₁和公比q滿足：

(I)求數(shù)列的通項公式;

(II)設(shè)，記數(shù)列的前n項和，若不等式對任意恒成立,求實數(shù)的最大值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）當n=1時，a₁=S₁=5．

當n≥2時a_n=S_n-S_n-1=n²+4n-(n-1)²-4(n-1)=2n+3，

驗證n=1時也成立．

∴數(shù)列{a_n}的通項公式為：a_n=2n+3（n∈N*）．

∵

∴  解得：b₁=2，q=3．

∴數(shù)列{b_n}的通項公式為：b_n=2·3^n-1．……………………………………5分

（Ⅱ）∵ ，

∴ T_n= c₁+ c₂+ c₃+…+ c_n

=3+2·3²+3·3³+……+n·3ⁿ················ ①

3T_n=3²+2·3ⁿ+3·3⁴+……+n·3ⁿ⁺¹·············· ②

由①-②得：-2T_n=3+3²+……+3ⁿ-n·3ⁿ⁺¹

=

，

∴ ．………………………………………………………8分

不等式λ(a_n-2n)≤4T_n可化為λ≤(2n-1)·3ⁿ+1，（*）

設(shè)f (n)=(2n-1)·3ⁿ+1，

易知函數(shù)f (n)在n∈N^*上單調(diào)遞增，

故當n=1時(2n-1)·3ⁿ+1取得最小值為4，

∴由題意可知：不等式(*)對一切n∈N^*恒成立，只需λ≤4．

∴實數(shù)λ的最大值為4．

【解析】略