Question

（2013•牡丹江一模）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，其中PA=PD=AD=2，∠BAD=60°，Q為AD的中點．
（1）求證：AD⊥平面PQB；
（2）若平面PAD⊥平面ABCD，且PM=

1

2

PC，求四棱錐M-ABCD的體積．

Answer 1

分析：（1）連接BD，等邊三角形PAD中，中線PQ⊥AD；因為菱形ABCD中∠BAD=60°，所以AD⊥BQ，最后由線面垂直的判定定理即可證出AD⊥平面PQB；
（2）連接QC，作MH⊥QC于H．因為平面PAD⊥平面ABCD，PQ⊥AD，結(jié)合面面垂直性質(zhì)定理證出PQ⊥平面ABCD．而平面PQC中，PQ∥MH，可得MH⊥平面ABCD，即MH就是四棱錐M-ABCD的高線．最后利用錐體體積公式結(jié)合題中數(shù)據(jù)即可算出四棱錐M-ABCD的體積．

解答：解：（1）連接BD
∵PA=PD=AD=2，Q為AD的中點，
∴PQ⊥AD
又∵∠BAD=60°，底面ABCD為菱形，
∴△ABD是等邊三角形，
∵Q為AD的中點，∴AD⊥BQ
∵PQ、BQ是平面PQB內(nèi)的相交直線，∴AD⊥平面PQB．
（2）連接QC，作MH⊥QC于H．
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD
∴PQ⊥平面ABCD，結(jié)合QC?平面ABCD，可得PQ⊥QC
∵平面PQC中，MH⊥QC且PQ⊥QC，
∴PQ∥MH，可得MH⊥平面ABCD，即MH就是四棱錐M-ABCD的高線
∵PM=

1

2

PC，可得MH=

1

2

PQ=

1

2

×

3

2

×2=

3

2

，
∴四棱錐M-ABCD的體積為V_M-ABCD=

1

3

×

1

2

AC×BD×MH=

1

6

×2×2

3

×

3

2

=1．

點評：本題給出特殊四棱錐，求證線面垂直并求錐體體積，著重考查了直線與平面垂直的判定、平面與平面垂直的性質(zhì)和體積公式等知識，屬于中檔題．