Question

4．若方程x+b=$\sqrt{{x}^{2}-1}$沒(méi)有實(shí)根，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 作出直線y=x+b，曲線y=$\sqrt{{x}^{2}-1}$，平移直線y=x，結(jié)合漸近線，即可得到所求b的范圍．

解答 解：作出直線y=x+b，曲線y=$\sqrt{{x}^{2}-1}$，
由雙曲線x²-y²=1的漸近線y=±x，
平移漸近線y=x，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1，0）時(shí)，b=1，
當(dāng)b＞1時(shí)，直線與曲線均有一個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)b＜0時(shí)，直線與雙曲線也有交點(diǎn)．
綜上可得，方程x+b=$\sqrt{{x}^{2}-1}$沒(méi)有實(shí)根，即為
直線與曲線沒(méi)有交點(diǎn)，可得b的范圍是[0，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查方程的根的情況，注意運(yùn)用函數(shù)和方程的轉(zhuǎn)化思想，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題．