Question

13．在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且|AB|=2，|AD|=1，|CD|=2x，其中x∈（0，1），以A、B為焦點(diǎn)且過點(diǎn)D的雙曲線的離心率為e₁，以C、D為焦點(diǎn)且過點(diǎn)A的橢圓的離心率為e₂，若對(duì)任意x∈（0，1），不等式t＜e₁+e₂恒成立，則t的最大值為$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 作圖輔助，根據(jù)題意及圓錐曲線的定義可求得e₁=$\frac{2}{\sqrt{1+4x}-1}$，e₂=$\frac{2x}{\sqrt{1+4x}+1}$，從而可得e₁+e₂=$\frac{2}{\sqrt{1+4x}-1}$+$\frac{2x}{\sqrt{1+4x}+1}$，利用換元法令$\sqrt{1+4x}$=t，（1＜t＜$\sqrt{5}$），從而化簡出e₁+e₂=$\frac{2}{t-1}$+$\frac{t-1}{2}$，從而利用函數(shù)的單調(diào)性求值域，從而化恒成立問題為最值問題．

解答 解：對(duì)于雙曲線，|AB|=2=2c，
|DE|=$\sqrt{1-（1-x）^{2}}$，
|BD|=$\sqrt{|DE{|}^{2}+（1+x）^{2}}$=$\sqrt{1+4x}$，
故2a=$\sqrt{1+4x}$-1，
故e₁=$\frac{2}{\sqrt{1+4x}-1}$，
對(duì)于橢圓，|CD|=2x=2c，
|AC|=|BD|=$\sqrt{|DE{|}^{2}+（1+x）^{2}}$=$\sqrt{1+4x}$，
2a=$\sqrt{1+4x}$+1，
故e₂=$\frac{2x}{\sqrt{1+4x}+1}$，
故e₁+e₂=$\frac{2}{\sqrt{1+4x}-1}$+$\frac{2x}{\sqrt{1+4x}+1}$，
令$\sqrt{1+4x}$=t，（1＜t＜$\sqrt{5}$），
故2x=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
e₁+e₂=$\frac{2}{t-1}+\frac{\frac{{t}^{2}-1}{2}}{t+1}$=$\frac{2}{t-1}$+$\frac{t-1}{2}$，
由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，
y=$\frac{2}{t-1}$+$\frac{t-1}{2}$在（1，$\sqrt{5}$）上是減函數(shù)，
故y＞$\frac{2}{\sqrt{5}-1}$+$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$=$\sqrt{5}$，
故若對(duì)對(duì)任意x∈（0，1），不等式t＜e₁+e₂恒成立，
則t≤$\sqrt{5}$，
故答案為：$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)形結(jié)合的思想及函數(shù)的思想的應(yīng)用，同時(shí)考查了圓錐曲線的定義的應(yīng)用及學(xué)生的化簡運(yùn)算能力．