Question

16．如圖所示，在邊長為4的正方形紙片ABCD中，AC與BD相交于O，剪去△AOB，將剩余部分沿OC、OD折疊，使OA、OB重合，則以A（B）、C、D、O為頂點的四面體的外接球表面積為（　　）

• A． 20π
• B． 24π
• C． 16π
• D． 18π

Answer 1

分析 翻折后的幾何體為底面邊長為4，側(cè)棱長為2$\sqrt{2}$的正三棱錐O-ACD，由此能求出以A（B）、C、D、O為頂點的四面體的外接球表面積．

解答 解：翻折后的幾何體為底面邊長為4，側(cè)棱長為2$\sqrt{2}$的正三棱錐O-ACD，如圖，
取CD中點E，連結(jié)AE，作OF⊥平面ABC，交AE于F，則F是△ACD的重心，
由題意知AE=$\sqrt{16-4}$=2$\sqrt{3}$，AF=$\frac{2AE}{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
OF=$\sqrt{{4}^{2}-（\frac{4\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
設(shè)G為四面體的外接球的球心、球半徑為R，則G在直線OF上，
且OG=AG=R，
∴由AG²=AF²+GF²，得：
R²=（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）²+（$\frac{2\sqrt{6}}{3}$-R）²，
解得R=$\sqrt{6}$，
∴以A（B）、C、D、O為頂點的四面體的外接球表面積為S=4πR²=24π．
故選：B．

點評 本題四面體的外接球的表面積的求法，考查推理論證能力、運算求解能力、空間思維能力，考查轉(zhuǎn)化化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、整體思想，是中檔題．