Question

已知函數(shù)，．
（I）求函數(shù)f（x）的解析式；
（II）若對于任意x∈（0，+∞），都有f（x）+g（x）≤a成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（III）設(shè)x₁，x₂，a₁，a₂＞0，且a₁+a₂=1，求證：a₁lnx₁+a₂lnx₂≤ln（a₁x₁+a₂x₂）．

Answer 1

【答案】分析：（I）欲求函數(shù)f（x）的解析式，根據(jù)題意，即求出其中的f'（2）的值，故只須對函數(shù)求導(dǎo)后令x=2即可；
（II）設(shè)F（x）=f（x）+g（x），對于任意x∈（0，+∞），都有f（x）+g（x）≤a成立，只須a≥F（x）_max即可，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)F（x）的最大值，則實數(shù)a的取值范圍可求．
（III）由（II），得F（x）=lnx-x≤-1，即lnx≤x-1，再分別令，，后利用不等式的性質(zhì)兩式相加，得到一個不等關(guān)系式，化簡即可證出結(jié)論．
解答：解：（I）因為，
所以f′（x）=x-f′（2）．（2分）
令x=2，得f′（2）=1，
所以f（x）=．（4分）
（II）解：設(shè)F（x）=f（x）+g（x）=lnx-x，
則F′，（5分）
令F′（x）=0，解得x=1．（6分）
當x變化時，F(xiàn)（x）與F′（x）的變化情況如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+		-
f（x）	增	極大值	減

所以當x=1時，F(xiàn)（x）_max=F（1）=-1．（9分）
因為對于任意x∈（0，+∞），都有f（x）+g（x）≤a成立，
所以a≥-1．（10分）
（III）證明：由（II），得F（x）=lnx-x≤-1，即lnx≤x-1，
令，得，
令，得，（11分）
所以
因為a₁+a₂=1，
所以，
即，
所以a₁lnx₁-a₁ln（a₁x₁+a₂x₂）+a₂lnx₂-a₂ln（a₁x₁+a₂x₂）≤0，
即a₁ln₁+a₂lnx₂≤（a₁+a₂）ln（a₁x₁+a₂x₂），
所以a₁lnx₁+a₂lnx₂≤ln（a₁x₁+a₂x₂）．（14分）
點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在某一區(qū)間上大于0，原函數(shù)是增函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)小于0，原函數(shù)是減函數(shù)，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查了分離變量法，是中檔題．