Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

1

2

sinx+

3

2

cosx，x∈R．
（I）求函數(shù)f（x）的周期和值域；
（II）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若f(A)=

3

2

，且a=

3

2

b，求角C的值．

Answer 1

分析：（I）利用兩角和的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，利用周期公式T=

2π

λ

即可求出f（x）的周期，然后由x屬于實(shí)數(shù)，得到這個(gè)角也屬于實(shí)數(shù)，進(jìn)而由正弦函數(shù)的值域[-1，1]，得到函數(shù)f（x）的值域；
（II）把x=A代入第一問(wèn)化簡(jiǎn)得到的f（x）中，求出f（A），讓其等于

3

2

得到sin（A+

π

3

）的值，根據(jù)A的范圍求出A+

π

3

的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可得到A的度數(shù)，進(jìn)而求出sinA的值，由已知a與b的關(guān)系式及求出的sinA，利用正弦定理即可求出sinB的值，根據(jù)B的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值求出B的度數(shù)，由A，B的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出C的度數(shù)即可．

解答：解：（I）∵f(x)=

1

2

sinx+

3

2

cosx=sin(x+

π

3

)，（3分）
∴f（x）的周期為2π．（4分）
因?yàn)閤∈R，所以x+

π

3

∈R，
所以f（x）值域?yàn)閇-1，1]；（5分）
（II）由（I）可知，f(A)=sin(A+

π

3

)，（6分）
∴sin(A+

π

3

)=

3

2

，（7分）
∵0＜A＜π，∴

π

3

＜A+

π

3

＜

4π

3

，（8分）
∴A+

π

3

=

2π

3

，得到A=

π

3

．（9分）
∵a=

3

2

b，且

a

sinA

=

b

sinB

，（10分）
∴

3 2 b

3 2

=

b

sinB

，∴sinB=1，（11分）
∵0＜B＜π，∴B=

π

2

．（12分）
∴C=π-A-B=

π

6

．（13分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角函數(shù)的周期性及其求法，兩角和的正弦函數(shù)公式及正弦定理．熟練掌握三角函數(shù)的周期公式及公式、定理是解本題的關(guān)鍵，同時(shí)學(xué)生在利用特殊角的三角函數(shù)值時(shí)注意角度的范圍．