Question

4．如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，他們所在的平面互相垂直，動點M在線段PQ上，E、F分別為AB、BC的中點．
（1）求證：AF⊥面EDP；
（2）設異面直線EM與AF所成的角為θ，求cosθ的最大值．

Answer 1

分析 （1）首先以AB，AD，AQ三直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，并設正方形邊長為2，證明$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{ED}$=0，$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{DP}$=0，即可證明AF⊥面EDP；
（2）M（0，y，2），從而可求出$\overrightarrow{EM}$=（-1，y，2），$\overrightarrow{AF}$=（2，1，0），由cosθ=|cos＜$\overrightarrow{EM}$，$\overrightarrow{AF}$＞|=$\frac{2-y}{\sqrt{{y}^{2}+5}•\sqrt{5}}$，對函數(shù)f（y）=$\frac{2-y}{\sqrt{{y}^{2}+5}•\sqrt{5}}$求導，根據(jù)導數(shù)符號即可判斷該函數(shù)為減函數(shù)，從而求出cosθ的最大值．

解答 （1）證明：根據(jù)已知條件，AB，AD，AQ三直線兩兩垂直，分別以這三直線為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系，設AB=2，則：
A（0，0，0），E（1，0，0），F(xiàn)（2，1，0），D（0，2，0），P（0，2，2）
∴$\overrightarrow{AF}$=（2，1，0），$\overrightarrow{ED}$=（-1，2，0），$\overrightarrow{DP}$=（0，0，2），
∴$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{ED}$=0，$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{DP}$=0，
∴AF⊥ED，AF⊥DP，
∵ED∩DP=D，
∴AF⊥面EDP；
（2）解：M在線段PQ上，設M（0，y，2），0≤y≤2；
∴$\overrightarrow{EM}$=（-1，y，2），$\overrightarrow{AF}$=（2，1，0），
∴cosθ=|cos＜$\overrightarrow{EM}$，$\overrightarrow{AF}$＞|=$\frac{2-y}{\sqrt{{y}^{2}+5}•\sqrt{5}}$；
設f（y）=$\frac{2-y}{\sqrt{{y}^{2}+5}•\sqrt{5}}$，f′（y）=$\frac{-2y-5}{\sqrt{5}（{y}^{2}+5）\sqrt{{y}^{2}+5}}$
函數(shù)g（y）=-2y-5是一次函數(shù)，且為減函數(shù)，g（0）=-5＜0；
∴g（y）＜0在[0，2]恒成立，∴f′（y）＜0；
∴f（y）在[0，2]上單調遞減；
∴y=0時，f（y）取到最大值$\frac{2}{5}$．

點評 考查建立空間直角坐標系，利用空間向量解決異面直線所成角的問題，異面直線所成角的概念及其范圍，向量夾角的概念及其范圍，以及向量夾角余弦的坐標公式，函數(shù)導數(shù)符號和函數(shù)單調性的關系．