Question

已知，其中a為常數(shù)．
（1）試判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）若（0，e]時，函數(shù)f（x）的最大值為-1，求實數(shù)a的值；
（3）在（2）的條件下，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用奇偶性的定義解決該函數(shù)奇偶性的問題，注意分段函數(shù)蘊(yùn)含的分類討論思想；
（2）確定函數(shù)在何處取到最大值，注意單調(diào)性的運(yùn)用，列出關(guān)于實數(shù)a的方程，通過解方程求出實數(shù)a的值；
（3）利用第二問的結(jié)論建立一個常見的不等式，通過該不等式利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)放縮證明出所要證明的不等式．
解答：解：（1）當(dāng)x∈[-e，0）時，則-x∈（0，e]
∴f（-x）=a（-x）+ln（-x）=-ax+ln（-x）=-f（x）
當(dāng)x∈（0，e]時，則-x∈[-e，0）
∴f（-x）=a（-x）-lnx=-ax-lnx=-（ax+lnx）=-f（x）
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（2）假設(shè)存在滿足條件的實數(shù)a
①時，由于x∈（0，e]，∴
∴f（x）在x∈（0，e]上是增函數(shù)
∴f（x）_min=f（e）=ae+1=-1（舍去）
②時，令
則f（x）上遞減，上遞增
∴，解得a=-1
綜合①②可知a=-1；
（3）由（2）知，f（x）=lnx-x≤-1，x∈（0，e]
∴l(xiāng)nx≤x-1（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取“=”）
∵∴
∴
=
∴．
點(diǎn)評：本題考查分段函數(shù)的解決方法，考查分類討論思想，函數(shù)奇偶性的證明．函數(shù)最值的求解，考查方程思想．利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式的意識，放縮放證明不等式．