Question

如圖所示，在直三棱柱中，，，，，是棱的中點．（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）略（Ⅱ）

解析:

解法一：（Ⅰ）∵，∴．

∵三棱柱為直三棱柱，∴.

∵，∴平面．

∵平面，∴，而，則．

在中，，

在中，

，

∴．

同理可得，．

∵，∴．即．

∵，∴平面． ----6分

（Ⅱ）如圖，過作的垂線，垂足為，在平面內(nèi)作交于點，連，則為二面角的平面角．

在中，，．

∵～，∴，則，．

在中，求得．

在中，由余弦定理，得．

故二面角的余弦值為．---13分

解法二：∵，∴．

∵三棱柱為直三棱柱，    

∴．

∵，

∴平面．以為坐標(biāo)原點，、、所在的直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，．---3分

（Ⅰ），，，

∵，，∴，，即，．

∵，∴平面.-------------6分

（Ⅱ）設(shè)是平面的法向量，由得

取，則是平面的一個法向量．

又是平面的一個法向量，-----10分

且與二面角的大小相等．

由．

故二面角的余弦值為．    -----------13分