Question

已知橢圓=1上一點(diǎn)P,到其左、右焦點(diǎn)距離之比為1∶3,求點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離及點(diǎn)P的坐標(biāo).

Answer 1

思路分析:已知橢圓方程,則該橢圓的一切幾何性質(zhì)可知,從而焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程可求.由于本題欲求的P點(diǎn)既與焦點(diǎn)距離有關(guān),又與準(zhǔn)線距離有關(guān),所以解題時可以用以上兩種定義.

解法一:設(shè)P(x,y),左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂,由已知的橢圓方程可得a=10,b=6,c=8,e==,則|PF₁|+|PF₂|=2a=20.

又3|PF₁|=|PF₂|,∴|PF₁|=5,|PF₂|=15.

設(shè)點(diǎn)P到兩準(zhǔn)線的距離分別是d₁、d₂,則由第二定義知,,得d₁=,d₂=.

而=d₁+|x|,

即=+|x|,則|x|=.

∴x=-.代入橢圓方程得y=±.故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-,)或(-,?-).

解法二:設(shè)|PF₁|=k,則|PF₂|=3k,

由橢圓定義,得k+3k=2a=20.

∴k=5,3k=15.

設(shè)P(x₀,y₀).

由橢圓第二定義=e,

∴|PF₁|=e·d₁=e(+x₀)=a+ex₀.

∴5=10+x₀.

∴x₀=-.代入橢圓方程,得y₀=±.∴P(-,±).

點(diǎn)P到左、右準(zhǔn)線距離分別為、.