Question

2．如圖，已知拋物線E：y²=2px（p＞0）與圓O：x²+y²=8相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2．過(guò)劣弧AB上動(dòng)點(diǎn)P（x₀，y₀）作圓O的切線交拋物線E于C，D兩點(diǎn)，分別以C，D為切點(diǎn)作拋物線E的切線l₁，l₂，l₁與l₂相交于點(diǎn)M．
（1）求拋物線E的方程；
（2）求點(diǎn)M到直線CD距離的最大值．

Answer 1

分析 （1）由2px_A=4，p=1．即可求得p的值，求得拋物線方程；
（2）分別求得直線l₁，l₂方程，聯(lián)立，求得交點(diǎn)M坐標(biāo)，求得足$x_0^2+y_0^2=8$，${x_0}∈[{2，2\sqrt{2}}]$，利用點(diǎn)到直線的距離公式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得點(diǎn)M到直線CD距離的最大值．

解答 解：（1）由x_A=2得$y_A^2=4$，故2px_A=4，p=1．
于是，拋物線E的方程為y²=2x．
（2）設(shè)$C（{\frac{y_1^2}{2}，{y_1}}）$，$D（{\frac{y_2^2}{2}，{y_2}}）$，切線l₁：$y-{y_1}=k（{x-\frac{y_1^2}{2}}）$，
代入y²=2x得$k{y^2}-2y+2{y_1}-ky_1^2=0$，由△=0解得$k=\frac{1}{y_1}$，
∴l(xiāng)₁方程為$y=\frac{1}{y_1}x+\frac{y_1}{2}$，同理l₂方程為$y=\frac{1}{y_2}x+\frac{y_2}{2}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{y_1}x+\frac{y_1}{2}\\ y=\frac{1}{y_2}x+\frac{y_2}{2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{{y_1}•{y_2}}}{2}\\ y=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}\end{array}\right.$，
易得CD方程為x₀x+y₀y=8，其中x₀，y₀滿(mǎn)足$x_0^2+y_0^2=8$，${x_0}∈[{2，2\sqrt{2}}]$，
聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=2x\\{x_0}x+{y_0}y=8\end{array}\right.$得${x_0}{y^2}+2{y_0}y-16=0$，則$\left\{\begin{array}{l}{y_1}+{y_2}=-\frac{{2{y_0}}}{x_0}\\{y_1}•{y_2}=-\frac{16}{x_0}\end{array}\right.$，
∴M（x，y）滿(mǎn)足$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{8}{x_0}\\ y=-\frac{y_0}{x_0}\end{array}\right.$，即點(diǎn)M為$（-\frac{8}{x_0}，-\frac{y_0}{x_0}）$．
點(diǎn)M到直線CD：x₀x+y₀y=8的距離$d=\frac{{|{-8-\frac{y_0^2}{x_0}-8}|}}{{\sqrt{x_0^2+y_0^2}}}=\frac{{\frac{y_0^2}{x_0}+16}}{{2\sqrt{2}}}=\frac{{\frac{8-x_0^2}{x_0}+16}}{{2\sqrt{2}}}=\frac{{\frac{8}{x_0}-{x_0}+16}}{{2\sqrt{2}}}$，
關(guān)于x₀單調(diào)減，
故當(dāng)且僅當(dāng)x₀=2時(shí)，${d_{max}}=\frac{18}{{2\sqrt{2}}}=\frac{{9\sqrt{2}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查點(diǎn)到直線的距離公式，函數(shù)單調(diào)性與拋物線的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．