Question

9．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量$\overrightarrow{OA}=（1，0），\overrightarrow{OB}$=（-1，2）．若平面區(qū)域D由所有滿足$\overrightarrow{OC}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$（-2≤λ≤2，-1≤μ≤1）的點(diǎn)C組成，則能夠把區(qū)域D的周長和面積同時(shí)分為相等的兩部分的曲線是（　�。�

• A． $y=1n\frac{5-x}{5+x}$
• B． $y=\frac{1}{x}$
• C． y=e^x+e^-x-1
• D． y=x+cosx

Answer 1

分析 利用向量的基本定理求出區(qū)域D，若曲線把區(qū)域D的周長和面積同時(shí)分為相等的兩部分的曲線，則對(duì)曲線應(yīng)的函數(shù)為過原點(diǎn)的奇函數(shù)．

解答 解：足$\overrightarrow{OC}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$=λ（1，0）+μ（-1，2）=（λ-μ，2μ），
設(shè)C（x，y），則$\left\{\begin{array}{l}{x=λ-μ}\\{y=2μ}\end{array}\right.$，
∵-2≤λ≤2，-1≤μ≤1，∴-3≤λ≤3，-2≤y≤2，
若若曲線把區(qū)域D的周長和面積同時(shí)分為相等的兩部分的曲線，
則對(duì)曲線應(yīng)的函數(shù)為過原點(diǎn)的奇函數(shù)．
A．f（-x）=ln$\frac{5+x}{5-x}$=-ln$\frac{5-x}{5+x}$，為奇函數(shù)，且在原點(diǎn)有意義，滿足條件．
B．為奇函數(shù)，但不過原點(diǎn)，不滿足條件．
C．函數(shù)為偶函數(shù)，不滿足條件．
D．函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，不滿足條件．
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性的對(duì)稱性的應(yīng)用，根據(jù)條件求出C對(duì)應(yīng)的區(qū)域，結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性是解決本題的關(guān)鍵．