Question

已知定義在R的奇函數(shù)f（x）滿足f（x-4）=-f（x），且x∈[0，2]時，f（x）=log₂（x+1），下面四種說法
①f（3）=1；
②函數(shù)f（x）在[-6，-2]上是增函數(shù)；
③函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=4對稱；
④若m∈（0，1），則關(guān)于x的方程f（x）-m=0在[-8，8]上所有根之和為-8，
其中正確的序號______．

Answer 1

取x=1，得f（1-4）=f（-3）=-f（1）=-log₂（1+1）=-1，所以f（3）=-f（-3）=1，故①正確；
定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x-4）=-f（x），則f（x-4）=f（-x），
∴f（x-2）=f（-x-2），
∴函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=-2對稱，
由于函數(shù)對稱中心原點（0，0）的對稱點為（4，0），故函數(shù)f（x）也關(guān)于（4，0）點對稱，故③不正確；
∵x∈[0，2]時，f（x）=log₂（x+1）為增函數(shù)，
由奇函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相同可得，x∈[-2，0]時，函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)，
∴x∈[-2，2]時，函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)，
∵函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=-2對稱，∴函數(shù)f（x）在[-6，-2]上是減函數(shù)，故②不正確；
若m∈（0，1），則關(guān)于x的方程f（x）-m=0在[-8，8]上有4個根，其中兩根的和為-6×2=-12，另兩根的和為2×2=4，所以所有根之和為-8．故④正確
故答案為：①④