Question

13．已知函數(shù)f（x）=ax²-4ln（x-1）．
（Ⅰ）當a=1時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若對一切x∈[2，e+1]，f（x）≤4恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）當a=1時，f（x）=x²-4ln（x-1）（x＞1），f′（x）=$\frac{2（x+1）（x-2）}{x-1}$，分別解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可得出單調(diào)區(qū)間；
（II）對一切x∈[2，e+1]，f（x）≤4恒成立?a≤$[\frac{4+4ln（x-1）}{{x}^{2}}]_{min}$，x∈[2，e+1]．令u（x）=$\frac{4+4ln（x-1）}{{x}^{2}}$，x∈[2，e+1]，利用導數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值，即可得出．

解答 解：（I）當a=1時，f（x）=x²-4ln（x-1）（x＞1），f′（x）=2x-$\frac{4}{x-1}$=$\frac{2（x+1）（x-2）}{x-1}$，
當x＞2時，f′（x）＞0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當1＜x＜2時，f′（x）＜0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
∴函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間是（2，+∞）；函數(shù)f（x）單調(diào)遞減區(qū)間是（1，2）．
（II）對一切x∈[2，e+1]，f（x）≤4恒成立?a≤$[\frac{4+4ln（x-1）}{{x}^{2}}]_{min}$，x∈[2，e+1]．
令u（x）=$\frac{4+4ln（x-1）}{{x}^{2}}$，x∈[2，e+1]，
u′（x）=$\frac{\frac{4{x}^{2}}{x-1}-2x（2+4ln（x-1））}{{x}^{4}}$=$\frac{4x-8-8ln（x-1）}{{x}^{3}}$，
令v（x）=4x-8-8ln（x-1），x∈[2，e+1]，
v′（x）=4-$\frac{8}{x-1}$=$\frac{4x-12}{x-1}$，
當x∈[2，3）時，v′（x）＜0，此時函數(shù)v（x）單調(diào)遞減；當x∈（3，e+1]時，v′（x）＞0，此時函數(shù)v（x）單調(diào)遞增．
而v（2）=0，v（e+1）=4（e+1）-8-8=4（e-3）＜0，
∴u′（x）≤0（只有x=2時取等號），
∴函數(shù)u（x）單調(diào)遞減，
∴當x=e+1時，函數(shù)u（x）取得極小值即最小值，u（e+1）=$\frac{8}{（e+1）^{2}}$．
∴a$≤\frac{8}{（e+1）^{2}}$，即為a的取值范圍．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究閉在區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．