Question

10．求證：對任意α，β有cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ和cos2α=2cos²α-1．

Answer 1

分析 在直角坐標系xoy中作單位圓O，并作角α，β和-β，使角α的始邊為Ox，交圓O于點A，終邊交圓O于點B；角β始邊為OB，終邊交圓O于點C；角-β始邊為Ox，終邊交圓O于點．從而可求點A，B，C和D的坐標，由兩點間距離公式分別求出AC²，BD²，由AC=BD，即可證明cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，利用此結論即可證明cos2α=2cos²α-1．

解答 證明：如圖所示，在直角坐標系xoy中作單位圓O，并作角α，β和-β，使角α的始邊為Ox，交圓O于點 A，終邊交圓O于點 B；角β始邊為OB，終邊交圓O于點 C；角-β始邊為 Ox，終邊交 圓O于點．從而點 A，B，C和 D的坐標分別為A（1，0），B（cosα，sinα），C（cos（α+β），sin（α+β）），D（cosβ，-sinβ）．
由兩點間距離公式得：
AC²=（cos（α+β）-1）²+sin²（α+β）=2-2cos（α+β）；
BD²=（cosβ-cosα）²+（-sinβ-sinα）²=2-2（cosαcosβ-sinαsinβ）．
注意到AC=BD，因此cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ．①
由①可得：cos2α=cos（α+α）=cosαcosα-sinαsinα=cos²α-sin²α=cos²α-（1-cos²α）=2cos²α-1．從而得證．

點評 本題主要考查了兩點間距離公式，單位圓，任意角的三角函數(shù)的定義的應用，屬于基本知識的考查．