Question

已知函數(shù)，
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)在定義域上的單調(diào)區(qū)間；
(Ⅱ)若關(guān)于x的方程f(x)-a=0恰有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(Ⅲ)已知實(shí)數(shù)x₁，x₂∈(0，1]，且x₁+x₂=1，若不等式f(x₁)·f(x₂)≤x-ln(x-p)在x∈(p，+∞)上恒成立，求實(shí)數(shù)p的最小值．

Answer 1

解：(Ⅰ)當(dāng)x＞2時(shí)，是常數(shù)，不是單調(diào)函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，，
方程恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，等價(jià)于直線y=a與曲線恰有兩個(gè)交點(diǎn)，
所以，。
(Ⅲ)∵，
當(dāng)時(shí)，有，
∴此時(shí)有成立；
下面先證，
先求函數(shù)在處的切線方程，
∵，
∴切線方程為，
下面證明：
成立，
令，
則，
易得在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
∴，
∴成立，
∴

，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
∴，∴，
設(shè)，則，且x＞p，
令g′(x)=0，得x=p+l，
當(dāng)p＜x＜p+1時(shí)，g′(x)＜0，g(x)單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞p+1時(shí)，g′(x)＞0，此時(shí)g(x)單調(diào)遞增，
∴h(x)_min=h(p+1)=p+1，
要使不等式f（x₁）·f（x₂）≤x-ln(x-p)在x∈(p，+∞)時(shí)恒成立，
只需，
∴，得，
∴實(shí)數(shù)p的最小值為。