Question

雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右支上存在一點(diǎn)，它到右焦點(diǎn)及左準(zhǔn)線的距離相等，則雙曲線離心率的取值范圍是

(1，

2

+1]

．

Answer 1

分析：如圖所示，設(shè)P（x，y）．由雙曲線的第二定義可得

|PF2|

|PN|

=e，再利用已知和準(zhǔn)線的定義可得|PF2|=|PM|=|PN|+

2a2

c

，進(jìn)而得到|PN|+

2a2

c

=e|PN|．又|PN|=x-

a2

c

，代入化為x=

a(e+1)

e(e-1)

，利用點(diǎn)P在雙曲線的右支上，可得x≥a，解出即可．

解答：解：如圖所示，設(shè)P（x，y）．
由雙曲線的第二定義可得

|PF2|

|PN|

=e，
∵|PF2|=|PM|=|PN|+

2a2

c

，
∴|PN|+

2a2

c

=e|PN|．
∵|PN|=x-

a2

c

，代入化為x=

a(e+1)

e(e-1)

，
∵點(diǎn)P在雙曲線的右支上，∴x≥a，
∴

a(e+1)

e(e-1)

≥a，化為e²-2e-1≤0，又e＞1，
解得1＜e≤1+

2

．
∴雙曲線離心率的取值范圍是(1，

2

+1]．
故答案為(1，

2

+1]．

點(diǎn)評：本題考查了雙曲線的第二定義及其性質(zhì)、離心率的取值范圍、一元二次不等式的解法等基礎(chǔ)知識與基本技能，屬于中檔題．