Question

20．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：（x-2）²+（y+1）²=5，過點P（5，0）且斜率為k的直線l與圓C相交于不同的兩點A，B．
（Ⅰ）求k的取值范圍；
（Ⅱ）若弦長|AB|=4，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直線l與圓C相交于不同的兩點A，B，故圓心到直線l的距離$d=\frac{{|{2k+1-5k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\frac{{|{1-3k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}＜\sqrt{5}$，即可求k的取值范圍；
（Ⅱ）若弦長|AB|=4，利用勾股定理，求出k，即可求直線l的方程．

解答 解：（Ⅰ）由已知圓C：（x-2）²+（y+1）²=5，知圓心C（2，-1），半徑$\sqrt{5}$，----（1分）
設(shè)過點P（5，0）且斜率為k的直線l：y=k（x-5），-----------------------------------（2分）
因為直線l與圓C相交于不同的兩點A，B，
故圓心到直線l的距離$d=\frac{{|{2k+1-5k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\frac{{|{1-3k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}＜\sqrt{5}$---------（5分）
得（2k+1）（k-2）＜0，所以，$-\frac{1}{2}＜k＜2$------------------------------（7分）
（Ⅱ）弦長|AB|=4，得：$5-{（\frac{{|{1-3k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}）^2}=4$----------------------------------------（8分）
解得：k=0或$k=\frac{3}{4}$y=0或是3x-4y-15=0（10分）

點評 本題考查直線方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．