Question

4．已知函數(shù)f（x）=x³的圖象為曲線C，給出以下四個(gè)命題：
①若點(diǎn)M在曲線C上，過點(diǎn)M作曲線C的切線可作一條且只能作一條；
②對(duì)于曲線C上任意一點(diǎn)P（x₁，y₁）（x₁≠0），在曲線C上總可以找到一點(diǎn)Q（x₂，y₂），使x₁和x₂的等差中項(xiàng)是同一個(gè)常數(shù)；
③設(shè)函數(shù)g（x）=|f（x）-2sin2x|，則g（x）的最小值是0；
④若f（x+a）≤8f（x）在區(qū)間[1，2]上恒成立，則a的最大值是1．
其中真命題的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 對(duì)四個(gè)命題分別進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．

解答 解：①若點(diǎn)M在曲線C上，過點(diǎn)M的切線斜率只有一個(gè)，所以過點(diǎn)M作曲線C的切線可作一條且只能作一條，故正確；
②函數(shù)f（x）=x³是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以對(duì)于曲線C上任意一點(diǎn)P（x₁，y₁）（x₁≠0），在曲線C上總可以找到一點(diǎn)Q（x₂，y₂），使x₁和x₂的等差中項(xiàng)是同一個(gè)常數(shù)0，故正確；
③設(shè)函數(shù)g（x）=|f（x）-2sin2x|=|x³-2sin2x|是偶函數(shù)，且g（0）=0，則g（x）的最小值是0；
④f（x+a）≤8f（x）即（x+a）³≤8a³，∴x+a≤2a，∴x≤a
∵f（x+a）≤8f（x）在區(qū)間[1，2]上恒成立，
∴a≥2，∴a的最小值是2，故不正確．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線與方程，考查命題真假的判斷，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．