精英家教網 > 高中數(shù)學 > 題目詳情

已知向量 $數(shù)學公式$ ，函數(shù) $數(shù)學公式$
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調遞增區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間 $數(shù)學公式$ 上的值域．

解：（1）由于函數(shù) $\text{[math]}$ =1-（2cos²x-2 $\text{[math]}$ sinxcosx）=1-（1+cos2x- $\text{[math]}$ sin2x）=
2（ $\text{[math]}$ ）=2sin（2x- $\text{[math]}$ ），
故函數(shù)f（x）的最小正周期為 $\text{[math]}$ =π．
令 $\text{[math]}$ ，k∈z，可得 $\text{[math]}$ ，k∈z，
故單調遞增區(qū)間為[ $\text{[math]}$ ]，k∈z．
（2）由于x∈ $\text{[math]}$ ，∴2x- $\text{[math]}$ ∈ $\text{[math]}$ ，故-1≤sin（2x- $\text{[math]}$ ）≤ $\text{[math]}$ ，-2≤2sin（2x- $\text{[math]}$ ）≤1，
故函數(shù)f（x）在區(qū)間 $\text{[math]}$ 上的值域為[-2，1]．
分析：（1）利用兩個向量的數(shù)量積公式化簡函數(shù)解析式為2sin（2x- $\text{[math]}$ ），求出最小正周期，再由 $\text{[math]}$ ，k∈z，求出x的范圍，即可求得單調遞增區(qū)間．
（2）由于x∈ $\text{[math]}$ ，可得 2x- $\text{[math]}$ ∈ $\text{[math]}$ ，從而求得2sin（2x- $\text{[math]}$ ）的范圍，即可求得值域．
點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式的應用，正弦函數(shù)的周期性、單調性、定義域和值域，屬于中檔題．

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