Question

在平面直角坐標系中，由x軸的正半軸、y軸的正半軸、曲線y=e^x以及該曲線在x=2處的切線所圍成圖形的面積是（　�。�

• A、e²
• B、e²-1
• C、

  1

  2

  e²
• D、

  1

  2

  e²-1

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：先根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出曲線y=e^x在x=2處的切線方程，再求出積分的上下限，然后利用定積分表示出圖形面積，最后利用定積分的定義進行求解即可．

解答： 解：∵y=e^x，
∴y′|x=2=ex|x=2=e2，切點坐標為（2，e²）
∴曲線y=e^x在x=2處的切線方程為y-e²=e²（x-2），即y=e²x-e²．
∴由x軸的正半軸、y軸的正半軸、曲線y=e^x以及該曲線在x=1處的切線所圍成圖形的面積
S=

∫

1 0

e^xdx+

∫

2 1

(ex-e2x+e2)dx=ex

|

1 0

+(ex-

1

2

e2x2+e2x)

|

2 1

=e-1+e²-e-2e2+

1

2

e2+2e²-e²
=

1

2

e2-1．
故選：D．

點評：本題主要考查了定積分在求面積中的應用，以及利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，同時考查了利用定積分求圖形面積的能力．應用定積分求平面圖形面積時，積分變量的選取是至關重要的，屬中檔題．