Question

設(shè)a₁，a₂，…，a_n都是正數(shù)，b₁，b₂，…，b_n是a₁，a₂，…，a_n的任一排列.求證:

（1）a₁b₁^-1+a₂b₂^-1+…+a_nb_n^-1≥n；

（2）a₁^p+q+a₂^p+q+…+a_n^p+q≥a₁^pb₁^q+a₂^pb₂^q+…+a_n^pb_n^q（p,q為正數(shù)）；

（3）H≤G≤A，其中H、G、A分別為a₁，a₂，…，a_n的調(diào)和平均、幾何平均及算術(shù)平均.

Answer 1

思路分析：運(yùn)用排序原理解題的核心問題是找出相應(yīng)的兩組數(shù).

證明：不妨設(shè)a₁≥a₂≥…≥a_n＞0.

（1）由不等式的單調(diào)性a_n^-1≥a_n-1^-1≥…≥a₁^-1，由排序原理得

a₁b₁^-1+a₂b₂^-1+…+a_nb_n^-1≥a₁a₁^-1+a₂a₂^-1+…+a_na_n^-1≥n;

（2）由題設(shè)a₁^p≥a₂^p≥…≥a_n^p,a₁^q≥a₂^q≥…≥a_n^q.由排序原理得；

（3）令t_i=（i=1，2，…，n），則t_n=1.

從而正數(shù)序列t₁，t₂，…，t_n及，，…，對(duì)應(yīng)兩項(xiàng)大小次序正好相反，由排序原理得

n=t₁·+t₂·+…+t_n·≤t₁·+t₂·+…+t_n·，

即n≤，從而G≤A.

另一方面

n=t₁·+t₂·+…+t_n·≤t₁·+t₂·+…+·+t_n·，

即n≤)，從而G≥H.