Question

在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知底面ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)P是CC₁的中點(diǎn)，直線AP與平面BCC₁B₁成30°角．
（1）求異面直線BC₁和AP所成角的大�。�（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）
（2）求點(diǎn)C到平面BC₁D的距離．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)條件得到∠APB即為直線AP與平面BCC₁B₁所成的角，進(jìn)而求出長(zhǎng)方體的高，再結(jié)合余弦定理求出∠D₁AP的余弦值即可；
（2）直接根據(jù)VC1-BCD=VC-BDC1即體積相等即可得到結(jié)論．

解答：（本題滿分12分）
解：（1）連接BP，設(shè)長(zhǎng)方體的高為h，
因?yàn)锳B⊥平面BCC₁B₁，
所以，∠APB即為直線AP與平面BCC₁B₁所成的角．…（2分）
PB=

h2 4 +4

，由tan600=

h2 4 +4

2

得h=4

2

．…（4分）
又因?yàn)锳D₁∥BC₁，所以∠D₁AP是異面直線BC₁和AP所成的角…（5分）
在△D₁AP中，AD₁=6，PA=4，D1P=2

3

，…（6分）
所以，cos∠D1AP=

16+36-12

2•4•6

=

5

6

，
即∠D1AP=arccos

5

6

…（8分）
（2）設(shè)點(diǎn)C到平面BC₁D的距離為d，
∵BD=2

2

，BC₁=DC₁=6，
∴S△C1BD=

1

2

×2

2

×

34

=2

17

，…（10分）
由VC1-BCD=VC-BDC1，
得

1

3

×

1

2

×2×2×4

2

=

1

3

×2

17

d，
d=

4 2

17

=

4 34

17

．      
故點(diǎn)C到平面BC₁D的距離為

4 34

17

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與直線所成的角以及點(diǎn)到面的距離計(jì)算．一般在求點(diǎn)到面的距離時(shí)，常用體積相等來(lái)求．