Question

8．在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點O為極點，以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=4+t}\\{y=5+2t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），曲線C₂：ρ²-6ρcosθ-10ρsinθ+9=0．
（Ⅰ）將曲線C₁化成普通方程，將曲線C₂化成參數(shù)方程；
（Ⅱ）判斷曲線C₁和曲線C₂的位置關(guān)系．

Answer 1

分析 （Ⅰ）消去參數(shù)t，把曲線C₁的參數(shù)方程化為普通方程；利用極坐標(biāo)公式，把曲線C₂的極坐標(biāo)方程化為普通方程，再把普通方程化為參數(shù)方程；
（Ⅱ）由曲線C₁上的點P到圓C₂的圓心O′的距離|PO′|＜r，得出曲線C₁、C₂相交．

解答 解：（Ⅰ）∵曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=4+t}\\{y=5+2t}\end{array}\right.$，
∴t=x-4，
代入y=5+2t得，
y=5+2（x-4），即y=2x-3．
∴曲線C₁的普通方程是y=2x-3；…（2分）
將ρ=$\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}}$，ρcosθ=x，ρsinθ=y代入曲線C₂的方程
ρ²-6ρcosθ-10ρsinθ+9=0，得
x²+y²-6x-10y+9=0，…（4分）
即（x-3）²+（y-5）²=25；…（5分）
設(shè)x-3=5cosα，y-5=5sinα，
得曲線C₂的參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+5cosα}\\{y=5+5sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)）；…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲線C₁是經(jīng)過點P（4，5）的直線，
曲線C₂是以O(shè)′（3，5）為圓心，半徑為r=5的圓；…（7分）
∵|PO′|=1＜r，…（8分）
∴點P（4，5）在曲線C₂內(nèi)，…（9分）
∴曲線C₁和曲線C₂相交．…（10分）

點評 本題考查了直線與圓的應(yīng)用問題，也考查了參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．