Question

已知函數f（x）=

m•2x+n

2x+m

（m≠0）是定義在R上的奇函數．
（1）求m，n．
（2）判斷函數f（x）的單調性．
（3）解關于t的方程f（log_m-n（t²-3t））=

3

5

．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）由奇函數的性質得

f(0)=0 (-1)=-f(1)

，代入解析式列出方程組，求出m，n的值；
（2）由（1）求出解析式，再分離常數，利用指數函數、復合函數的單調性進行判斷即可；
（3）由（1）化簡log_m-n（t²-3t），再化簡2

log

(t2-3t) 2

，代入方程f（log_m-n（t²-3t））=

3

5

化簡，求出t的值并驗證真數大于零．

解答： 解：（1）因為f（x）是R上的奇函數，
所以

f(0)=0 (-1)=-f(1)

，即

m+n 1+m =0 m•2-1+n 2-1+m =- 2m+n 2+m

，
解得m=1，n=-1；
（2）由（1）得，f(x)=

2x-1

2x+1

=

2x+1-2

2x+1

=1-

2

2x+1

，
所以函數f（x）在R上單調遞增；
（3）由（1）得，log_m-n（t²-3t）=log₂（t²-3t），
則2

log

(t2-3t) 2

=t²-3t，
所以f（log_m-n（t²-3t））=

3

5

為：

t2-3t-1

t2-3t+1

=

3

5

，
化簡得t²-3t-4=0，解得t=-1或4，滿足t²-3t＞0，
所以方程的解是t=-1或4．

點評：本題考查利用函數的奇偶性求參數，指數函數和復合函數的單調性，分離常數法化簡函數解析式，以及指數、對數的運算，屬于中檔題．