Question

已知函數(shù)f（x）=

2

x

-x^m，且f（4）=-

7

2

．
（1）求m的值；
（2）判斷f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，并給予證明．

Answer 1

分析：（1）欲求m的值，只須根據(jù)f（4）=-

7

2

的值，當(dāng)x=4時(shí)代入f（x）解一個(gè)指數(shù)方程即可；
（2）利用單調(diào)性的定義證明即可．任取0＜x₁＜x₂，只要證明f（x₁）＞f（x₂），即可．

解答：解：（1）∵f（4）=-

7

2

，
∴

2

4

-4^m=-

7

2

．∴m=1．
（2）f（x）=

2

x

-x在（0，+∞）上單調(diào)遞減，證明如下：
任取0＜x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=(

2

x1

-x1)-(

2

x2

-x2)=（x₂-x₁）(

2

x1x2

+1)．
∵0＜x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，

2

x1x2

+1＞0．
∴f（x₁）-f（x₂）＞0．
∴f（x₁）＞f（x₂），
即f（x）=

2

x

-x在（0，+∞）上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明及指數(shù)方程的解法．屬于基礎(chǔ)題．